Elena UE EngStartUp, curso 2013-2014: Matriz diagonalizable:

En álgebra lineal, una matriz cuadrada "A" se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma $A = PDP^{-1}$ . En donde "P" es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A, y D es una matriz diagonal formada por los valores propios de A.

Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como $A = PDP^{t}$ . El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de $P^{-1}$ son los vectores columnas de P.

Sea $\mathbf{A} \in M^{n \times n}(\mathbb{K})$ una matriz cuadrada con valores en un cuerpo $\mathbb{K}$ , se dice que la matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma:

$\mathbf{A} = \mathbf{P D P}^{-1}$

Donde:

$\mathbf{D}$ es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de $\sigma(\mathbf{A})$ , apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo $\sigma(\mathbf{A})$ el espectro de $\mathbf{A}$ , es decir, el conjunto de autovalores de la matriz $\mathbf{A}$ :

$\sigma(\mathbf{A}) = \big\{ \lambda_i \in \mathbb{K}| \mathbf{Av} = \lambda_i \mathbf{v} \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$

$\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada $\lambda_i\,$ siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman elnúcleo de la matriz $(A - \lambda_i I)$ :