¿Qué es un endomorfismo? ¿Y un grupo multiplicativo?

1. ENDOMORFISMO: 

►DEFINICIÓN: Se llama endomorfismo a una aplicacion lineal f : V → V de un espacio vectorial V en si mismo. 

►CAMBIO DE BASE EN UN ENDOMORFISMO: Sea V un espacio vectorial y f : V −→ V un endomorfismo cuya matriz respecto de la base B(lo usual, en endomorfismos, es considerar la misma base en los espacios inicial y final) es A, esdecir: 

f(u) = Au 

donde A = M(f,B,B) = M(f,B) 

►DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMO: Un endomorfismo es diagonalizable si existen tantos vectores propios como la dimensión del espacio vectorial en el que trabajamos (dimensión de la matriz del endomorfismo).

- Toda matriz simétrica (hermítica en general) siempre es diagonalizable. 
- Si los valores propios son distintos entre sí, siempre es diagonalizable. 
- Si hay valores propios repetidos, será diagonalizable cuando el número de vectores porpios asociados al valor propio repetido coincida con la multiplicidad de dicho valor propio. 
- La matriz diagonal D está formada por los valores propios en la diagonal principal (el resto de los elementos son nulos). 
- La base para la cual la matriz que caracteriza al endomorfismo es la diagonal está formada por los vectores propios. 
- La matriz de paso P que permite el paso de la base inicial (para la cual la matriz del endomorfismo en A) a la nueva base tiene por columnas a los vectores propios colocados en el mismo orden en que hemos colocado los valores propios en la matriz diagonal. 
- Relación entre las matrices: D = P^-1 A P 
- Aplicación de la diagonalización al cálculo de la potencia enésima de una matriz. 

A = P D P^-1 ==> A^n = P Dn P^-1 

Pero el cálculo de D^n, es sencillo pues basta con elevar a la n los elementos de la diagonal principal. 

2. GRUPO MULTIPLICATIVO: Si G es el grupo multiplicativo de matrices reales invertibles de tamaño 3×3, y N es el subgrupo de matrices con determinante 1, entonces N es normal en G (por ser el núcleo del homomorfismo determinante). Las clases laterales de N son los conjuntos de matrices con determinante dado, con lo cual G/N es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales distintos de 0.